2006年加拿大物理奥林匹克竞赛试题赏析.pdf

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知量不影 响最终结果 ．
尽 管题 中未 提及 ， 我们假定在讨论 中弹 簧遵守 胡克定律 ，
它不仅依赖 于弹簧 的劲度 系数 ， 也与木块的质量有关．
在平衡位置 时弹簧 被压缩 的长 度 为 △  ， 为 了应 用胡 克
定律 ， 我们认为 △  《L 。 ， 如果 不满 足这 一条 件 ， 就不 能从 普
遍 意义上解决这一 问题． △  的值由胡克定律得到
△ L 。 一  ． ①
我们来考虑木块 1 位移 的两 个可 能方 向 ， 并求 出这 两个
可能方向偏离平衡位置相应 的值 △ L 。 和 △ L ～
(1) 位 移 向上
这个过程可作如下 描述 ： 我们 可慢 慢将 木块 1 向上 提起
直到木块 2 不再 与桌面接触． 在这 个过程 中 ， 木块 2 受 三个力
的作用 ， 重力  。 一m zg ， 桌面向上的支持力  ， 弹簧弹力  z．
由于木块 2 处 于平衡位置 ， 我们可写 出平衡条件 的矢量 方程
F 2 + N + F 2— 0
木块 2 即将离 开桌 面的瞬间， 它不 再受 支持力 的作 用 ， 这
时我们有F = 一F  其数量形式为
m 2g 一 z p，  ②
这里 z 。 是相对于弹簧 自然长度 的伸长量．
则木块 1 离开平衡位置位移 的大小为
AL up一 - - A L。 + z u p  +  一  (m +  ，  ③
骆 兴 高(校 )
浙 江省杭 州十 四中学  310006)
这个方程相对 于 m 和  z 是对称的 ， 从方 程我们不能看 出起
初时两木块的位置．
(2)位 移 向 下
木块 1 从平衡位置被压下一个 未知值 △ L 。 wn然后释放 ， 则
弹簧偏离 自然长度的最大量为 zao ， 满足
zd。 wn—A L 0+ △ L do wn． ④
为了计算释放瞬间 系统初始 势 能 ， 因为 木块 2 的势 能在
这 个过程中始终保持不变 ， 我们可 不考虑它 ， 木块 1 在最低位
置 时系统的势能(不包括木块 2)为
El ~r l , l g( L0- -Xd o ~+导 ) +÷ ( ‰  ⑤
弹簧释放后 ， 木块 1 向上 弹起 ， 当其 质心 到达  + z 。 +
要高度时， 其运 动速 度为 ， 木块2开始向 上运动， 从② 式可 求
出 z 。
m 2g  z p ．
在这一瞬 间系统 总能量为
一 m g ( + + d 十 1 m +÷ ( Xu p ) 。 ．
⑥
利用机械能守恒得到
E —E ， ．
由② 、 ④ 两式 得到 的 z 和  代人上式并化简 ， 得
一
√ [ c 确  ] + ．
上 面讨 论 中需 要计 算 的是 位移 的最 小值 △ L ao wn  ， 显 然
只有 当 v= O 时 △ L wn为最小 ， 得
△ L d own一 -(m 1+ m 2)．  ⑦
比较 ③ 、 ⑦ 两式 ， 我们可 看 出： △ L 一△ Laown， 也就是 说相
对 于平衡位置位移大 小和方 向不依赖 于 l ： l S~ m 1． 如把 系统 的
上 、 下两木块交换仍能得到相同结果 ， 只是交 换后 的平衡 位置
随之发生 了改变．
现在 我 们 来 解 释 为 什
么 结果 仅 依赖 于 两木 块 质
量之和 ， 而 与它们初 始 的相  ⋯+ W
对位置无关 ， 图 2 显示 了以  ⋯
弹簧 长 度 为变 量 系统 势 能
函数 ， 函 数 图 象 为抛 物 线．

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