高中物理竞赛解题方法.rar

高中奥林匹克物理竞赛解题方法
 
六、递推法
 
方法简介
递推法是解决物体与物体发生多次作用后的情况. 即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式. 具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论. 再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解. 用递推法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推关系式.
 
塞题精析
例1  质点以加速度a从静止出发做直线运动，在某时刻t，加速度变为2a；在时刻2t，加速度变为3a；…；在nt时刻，加速度变为（n+1）a，求：
   （1）nt时刻质点的速度；
   （2）nt时间内通过的总路程.
解析  根据递推法的思想，从特殊到一般找到规律，然后求解. 
   （1）物质在某时刻t末的速度为
2t末的速度为
3t末的速度为
……
则nt末的速度为


   （2）同理：可推得nt内通过的总路程
例2  小球从高处自由下落，着地后跳起又下落，每与地面相碰一次，速度减小，求小球从下落到停止经过的总时间为通过的总路程.（g取10m/s2）
解析  小球从h0高处落地时，速率
第一次跳起时和又落地时的速率
第二次跳起时和又落地时的速率
 
第m次跳起时和又落地时的速率
每次跳起的高度依次，
 
通过的总路程
                
经过的总时间为
                 
例3  A、B、C三只猎犬站立的位置构成一个边长为a的正
三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为v，A犬想追捕B犬，B
犬想追捕C犬，C犬想追捕A犬，为追捕到猎物，猎犬不断调
整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长
时间可捕捉到猎物？
解析  由题意可知，由题意可知，三只猎犬都做等速率曲线运动，而且任一时刻三只猎犬的位置都分别在一个正三角形的三个顶点上，但这正三角形的边长不断减小，如图6—1所示.所以要想求出捕捉的时间，则需用微元法将等速率曲线运动变成等速率直线运动，再用递推法求解.
设经时间t可捕捉猎物，再把t分为n个微小时间间隔△t，在每一个△t内每只猎犬的运动可视为直线运动，每隔△t，正三角形的边长分别为a1、a2、a3、…、an，显然当an→0时三只猎犬相遇.

因为
即
此题还可用对称法，在非惯性参考系中求解.
例4  一列进站后的重载列车，车头与各节车厢的质量相等，均为m，若一次直接起动，车头的牵引力能带动30节车厢，那么，利用倒退起动，该车头能起动多少节同样质量的车厢？
解析  若一次直接起动，车头的牵引力需克服摩擦力做功，使各节车厢动能都增加，若利用倒退起动，则车头的牵引力需克服摩擦力做的总功不变，但各节车厢起动的动能则不同.
原来挂钩之间是张紧的，倒退后挂钩间存在△s的宽松距离，设火车的牵引力为F，则有：
车头起动时，有
拉第一节车厢时：