大气压和大气重量的关系

来源：物理ok网编辑：王永时间：2015-08-11 点击量：次

一块底面积为1平方米，厚度为1厘米的煎饼铺在地面上，谈论这块煎饼的重量没啥大问题。

设想这煎饼大到包住了整个地球，显然，该煎饼的美国部分和中国部分受到的地球引力方向几乎相反，这种情况下，讨论这跨国煎饼的重量就没啥意义了吧。

当然，谈论这煎饼的质量还是会受到欢迎的。

同样的道理，谈论包围地球的整个大气的重量也是没有意义的，因为大气的美国的部分和中国部分受到的地球引力方向几乎相反。

不过谈论某个小范围内的空气重量，还是可以的；或者把问题弄得理想化一些，谈论一个较大范围内的大气重量，也是可以的。

假想地面上一个无限高的柱状容器，内有理想气体，每个气体分子质量为m，为简单计，假设重力加速度g，气体温度T均不随位置变化。

我们分析一下容器底面受到的气体压力和容器中气体重量的关系。

根据麦克斯韦-玻尔兹曼分布，或者就叫玻尔兹曼分布，坐标介于区间x~x+dx，y~y+dy，z~z+dz内，并且速度介于vx~vx+dvx，vy~vy+dvy，vz~vz+dvz内的分子数为，

c(m/2πkT)^(3/2)exp（-（0.5m（vx^2+vy^2+vz^2）+mgz）/kT）dxdydzdvxdvydvz，

其中，c为常数(可以由分子数确定，暂不必管它)，k为玻尔兹曼常数，T为热力学温度。

这个分布可以用分割粒子运动相空间，分析最可几分布的方法得到。

对三个速度分量积分，积分区间都是从-∞到+∞，利用高斯积分公式

∫exp（-at^2）dt（积分区间从-∞到﹢∞）

=（π/a）^(1/2)，

得到

（∫dvx∫dvy∫c(m/2πkT)^(3/2)exp（-（0.5m（vx^2+vy^2+vz^2）+mgz）/kT）dvz）dxdydz

=cexp（-mgz/kT）dxdydz（1）

这就是在高度z处，体积元dxdydz内的分子数。

于是高度z处，单位体积内的分子数，即

数密度为，cexp（-mgz/kT）

如果，地面，即z=0处的分子数密度为n0，则cexp（-mg0/kT）=n0，得到c=n0，于是，

分子数密度为n0exp（-mgz/kT）（2）

下面分析气体对容器底部的压力。

由理想气体状态方程pv=(N/Na)RT，

得到气体的压强公式p=(N/v)(R/Na)T。

其中N/v即为数密度，记做n，Na为阿伏伽德罗常数，R/Na即为玻尔兹曼常数k，于是

p=nkT

可以看到，高度z处，空气压强为n0kTexp（-mgz/kT）；

地面z=0处，空气压强为p0=n0kT，

这就是所谓大气压随高度的变化。

假设容器底面积为s，于是，地面z=0处，气体对底部压力F=p0s=n0kTs

这个压力的本质是气体分子撞击容器底部的平均效果。

现在我们用上面得到的分子数密度公式（2）计算无限高容器内的气体重量G，

G=∫mgnsdz (积分区间为0到正无穷)

=∫mgn0exp（-mgz/kT）sdz

=n0kTs

可以看出，气体对无限高容器底部的压力，就等于无限高容器中气体的重量。

这个结论，是在底面积较小，认为上方气体分子所受地球引力方向不变的情况下得出的。

如果考虑到重力加速度随高度变化，在一个底面积不大的柱状容器内，也能得到这样的结论。

对于整个地球表面，没有这样的关系，况且也没有什么大气总重量的说法。