“等时线”与“等速线”.doc

“等时线”与“等速线”
作者：中国龙   网名：loong-yyc
在高中物理课本的静电学一章谈到了等势面的概念：“电场中电势相同的各点构成的面叫等势面”.其实,在运动学中,物体的运动也存在着“等时线”与“等速线”.
如图1所示,竖直放置的一块厚板上从A点向斜下方刻着许多
光滑直槽,问：
(1)质点沿不同的小槽向下滑行相同的时间t0，对应各个终了
时刻的位置坐标在什么形状的曲线上？
   （2）质点在不同的槽内由静止向下滑行到同一速率v0,对应各
个终了时刻的位置坐标在什么形状的曲线上？
解:以板上的A点为坐标原点,竖直向下方向为y轴正方向,水
平向右方向为x轴正方向,建立直角坐标系.假定质点沿与y轴成
θ角的直槽下滑,如图2所示.它受两个力的作用:重力G=mg ,沿y
轴正方向.小槽对它的支持力N,垂直于小槽斜向上方.这两个力的
合力F=mgcosθ使质点产生下滑加速度.
(1)质点经时间t0下滑距离:   
由于质点坐标满足关系式,,代入上式并整
理得
配方后得:                          (1)
(1)式表明:质点沿不同小槽下滑相同时间t0,各个终了时刻的位置坐标满足圆心在(0,)半径为的圆的方程,质点下滑时的“等时线”为圆，如图3所示.
(2)质点由静止在任一小槽中匀加速下滑到速率v0时,,把代入上式得:                        (2)
(2)式表明:质点沿不同小槽下滑到同一速率v0时, 各个终了时刻的位
置坐标满足平行于x轴的直线方程,质点的“等速线”为平行于x轴的直线,
如图4所示.
若考虑到质点的质量m,由(2)式可得:.
这个式子正是重力场中机械能守恒定律的表现形式,所以图4所示的直线也可以看作是“等能线”.

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